Loading... 2025年11月08日 09:03 # 一句话介绍微积分 微积分是一门关于无穷小和无穷大的学科，无穷小除以无穷小为微分，无穷小乘以无穷大为积分。 为什么要发明微积分，因为0不能作为除数，所以用动态的无穷小来代替静态的0。 推荐苏德矿版微积分、屠龙宝刀、倚天宝剑。 2025年11月11日 23:33 # 题1 若$x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$为无穷小，且为$x^2$的高阶无穷小，则$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{\sin^2 x}$=______; > 高阶无穷小：比“普通”无穷小更快归零的量，当 $x\rightarrow0$ 时，若 $\lim f(x)/x = 0$ 成立，就称 $f$ 是 $x$ 的高阶无穷小，记 $f = o(x)$。 > > $\lim$：极限，是为了描述无穷小和0的关系发明的定义。无穷小是极限为0的量，常量C加一个无穷小量的极限等于常量C。看上去有点脱裤子放屁，意思就是无穷小现在不等于0，在无穷远的精度下会变成0，所以无穷小可以作为除数。 解： $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{\sin^2 x} =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^2}\frac{x^2}{\sin^2 x}=0 $ # 题2 设函数$f(x)=\frac{\sin(x-1)}{x^2-1}$,则其有无间断点 > 断点一句话：函数在该点失去“连”或“值”，图像出现“跳洞”。 > 分类速记： > > 1. 第一类间断点：左右极限都存在 > 1）可去：$ \lim_{x→a}f(x)\text{存在}≠f(a)\text{或}f(a)\text{未定义} $ > 2）跳跃：$ \lim_{x→a^-}f(x)≠\lim_{x→a^+}f(x) $ > 2. 第二类间断点：至少一侧极限不存在 > 1）无穷：$ \lim_{x→a}f(x)=\pm\infty $ > 2）振荡：$\lim_{x \rightarrow 0}\sin\frac{1}{x},\quad x\ne 0$ > 3. 修复法：对可去断点，重新定义$ f(a)=\lim_{x→a}f(x) $，可去断点秒变连续。 > 特殊极限： > > $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{ x }=1$ > > 证： > > $\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1 \;(0<|x|<\tfrac\pi2) \;\xrightarrow{x\to 0}\; \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 $ > >  > 夹逼定理（又称“三明治定理”“夹挤定理”）： > 若三个函数在某极限点附近满足 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且 $g,h$ 同挤到同一极限 $L$，则中间函数 $f$ 也别无选择，只能一起挤到 $L$。 > > 设在 $a$ 的某去心邻域内有 > $g(x)\le f(x)\le h(x)$， > 且 > $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$， > 则 > $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$。 解： $f(x)=\frac{\sin(x-1)}{x^2-1}=\frac{\sin(x-1)}{(x-1)(x+1)}$,$x \ne 1 ,x \ne -1$ $\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sin(x-1)}{(x-1)}\frac{1}{(x+1)}=1/2 $,为可去间断点，第一类 $\lim_{x \rightarrow -1}\frac{\sin(x-1)}{(x-1)}\frac{1}{(x+1)}=\frac{\sin(-2)}{(-2)}\frac{1}{(x+1)}=+ \infty$,为无穷间断点，第二类 # 题3 若函数$y=f(x)$在点$x_0$处有不等于零的导数，并且其反函数$x = g(y)$在点$y_{0}(y_0=f(x_0))$处连续，则导数$g^{'}(y_0)$等于 > 导数的定义：$f(x)$的导数就是差商的极限： > > $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ > （极限存在且有限时称 $f$ 在 $x_0$ 可导）。 > > 其本质是当自变量变化一个无穷小量$\Delta x$时，因变量的变化量$\Delta y$ 与自变量的变化量$ \Delta x $之商，其中$\Delta y$是无穷小量。 解： $g^{'}(y_0) = \Delta x / \Delta y = \frac{1}{\Delta y / \Delta x}=\frac{1}{f^{'}(x_0)}$ # 常见求导公式 - $(c)'=0$ 常零 - $(x^a)'=a x^{a-1}$ 幂降 - $(\sin x)'=\cos x$ - $(\cos x)'=-\sin x$ 弦互换 - $(\tan x)'=\sec^2 x$ 割乘切 - $(\cot x)'=-\csc^2 x$ - $(\sec x)'=\sec x\tan x$ - $(\csc x)'=-\csc x\cot x$ - $(e^x)'=e^x$ 指正不变 - $(a^x)'=a^x\ln a$ - $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ 对倒数 - $(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$ - $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 反分式 - $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$ - $(\operatorname{arccot} x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$ # 积法则 $(uv)' = u'v + uv'$ “前导后不导＋后导前不导” # 商法则 $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ “上导下不导减下导上不导，再除下面平方” # 链式法则（复合） $\bigl[f\bigl(g(x)\bigr)\bigr]' = f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$ “外导乘内导，层层剥洋葱” # 隐式微分法 口诀：两边同时求导，遇 y 就拖 y′，最后把 y′ 解出来。 **例** 求圆 x² + y² = 25 在点 (3,4) 处的切线斜率。 1. 两边对 x 求导： 2x + 2y·y′ = 0 2. 拖 y′ 的项留在左，其余去右： 2y·y′ = –2x 3. 解 y′： y′ = –x / y 4. 代入 (3,4)： y′ = –3/4 ← 一次搞定，无需显式解出 y(x) --- # 对数微分法 口诀：先 ln 化“积、幂、根”，再隐式求导，最后乘回原函数。 **例** 求 $y = (\sin x)^{x^2}$ 的导数。 1. 两边取 $\ln$： $\ln y = x²·\ln(\sin x)$ 2. 隐式求导（右用积法则）： $(1/y)·y^{'} = 2x·\ln(\sin x) + x^2·(\cos x / \sin x)$ 3. 解 $y′$： $y^{'} = y · [2x \ln(\sin x) + x^2 \cot x]$ 4. 把原 y 代回： $y^{'} = (\sin x)^{x^2} · [2x \ln(\sin x) + x^2 \cot x]$ 2025年11月13日 12:57 # 题4 设$y=f(\ln x)e^{f(x)}$ ,其中$f(x)$是可微函数，则微分$dy$等于。 解： $dy$是一个无穷小量，伴随着自变量变化了一个无穷小量$dx$，且$dy/dx=f^{'}(x)$，则根据积法则$dy=e^{f(x)}(\frac{1}{x}f^{'}(\ln x) +f(\ln x)f^{'}(x))dx$。这个是试卷的答案。 用指数求导会有另一个答案：$y^{\prime}=\frac{f^{\prime}\left(\ln x\right)\frac{y}{x}}{f\left(\ln x\right)\left(1-y\right)}$。 所以问题不简单，喂了方程给Ai，用泛函分析得出结论：$f(x)=0,x>0$是这个方程的唯一解，不能用指数求导法，其实$dy=0$ 2025年11月13日 21:04 # 题5 设偶函数$f(x)$具有二阶连续导数，并且$f^{\prime \prime}(0) \ne 0$,则x=0是否是其一个极值点。 >  解： 偶函数$f(-x)=f(x)$,求导之后$-f^{\prime}(-x)=f^{\prime}(x)$,故$f^{\prime}(0)=0$,$f^{\prime \prime}(0) \ne 0$,一定是一个极值点。 # 题6 函数$y=x^3/3 -x$在区间$[0,\sqrt{3}]$上满足罗尔定理的$\xi$等于。 > 1. 罗尔定理 > $f(a)=f(b)\;\Rightarrow\;\exists\,c\in(a,b):\;f'(c)=0$ > 2. 拉格朗日定理 > $\exists\,c\in(a,b):\;f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ > 3. 柯西定理 > $\exists\,c\in(a,b):\;\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}\quad(g'\neq0)$ > 4. 泰勒定理（Lagrange 余项） > $f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},\;\xi\in(x_0,x)$ > 5. 积分第一中值定理 > $\exists\,c\in[a,b]:\;\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int_{a}^{b}g(x)\,dx\quad(g\text{ 定号})$ > 6. 积分第二中值定理（Bonnet） > $\exists\,c\in[a,b]:\;\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(a)\int_{a}^{c}g(x)\,dx+f(b)\int_{c}^{b}g(x)\,dx\quad(f\text{ 单调})$ > 7. 广义柯西定理 > $\exists\,c\in(a,b):\;\begin{vmatrix}f(b)-f(a)&g(b)-g(a)\\f'(c)&g'(c)\end{vmatrix}=0$ 解：1 # 题7 若$y=\tan2x$的一个原函数为$y=k \ln(\cos2x)$,则常数k等于 解：-1/2 # 题8 设$I=\int^{\pi/2}_{0} \frac{1}{3+2\cos^2 x}dx$,则I的关系式可能是$\pi /10 \le I \le \pi/6$。 # 题9 设$\alpha$、$\beta$为两个非零向量，则$|\alpha \times \beta|$=$|\alpha||\beta|\cos(\alpha,\beta)$。 # 题10 设有直线$\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{-3}$,则该直线必定__原点__Oy轴。 解：$\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{-3}=t$，$y=0,x=t,z=-3t$ 而$Oy$轴$y=t,x=0,z=0$ 可知该直线过原点(t=0时)，垂直于$Oy$轴(首先由方向向量看出不平行吧，再由方向向量看出垂直) # 题11 设$z=\arctan \frac{x}{y}$,则$\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$ 最后修改：2025 年 11 月 13 日 © 禁止转载 打赏 赞赏作者 赞 4 本站内容除注明外均为本人原创，转载必须注明出处。